\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
Test:
math.sqrt on complex, real part
Bits:
128 bits
Bits error versus re
Bits error versus im
Time: 12.7 s
Input Error: 16.2
Output Error: 7.3
Log: ⚲
Profile: 🕒
\(\begin{cases} 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} & \text{when } \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 4.960076f-23 \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{{\left(\sqrt[3]{{re}^2 + im \cdot im}\right)}^3} + re\right)} & \text{when } \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 2.7921735f+19 \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)} & \text{otherwise} \end{cases}\)

    if (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 4.960076f-23

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      27.4
    2. Using strategy rm
      27.4
    3. Applied flip-+ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      29.2
    4. Applied associate-*r/ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{\color{red}{2.0 \cdot \frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      29.2
    5. Applied sqrt-div to get
      \[0.5 \cdot \color{red}{\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      29.4
    6. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
      17.5
    7. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{red}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}\]
      17.5

    if 4.960076f-23 < (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 2.7921735f+19

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      0.6
    2. Using strategy rm
      0.6
    3. Applied add-cube-cbrt to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{red}{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^3}} + re\right)}\]
      0.8
    4. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{{\color{red}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}}^3} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{re}^2 + im \cdot im}\right)}}^3} + re\right)}\]
      0.8

    if 2.7921735f+19 < (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      29.7
    2. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\]
      10.0
    3. Taylor expanded around 0 to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(im + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(im + re\right)}}\]
      10.0
  1. Removed slow pow expressions

Original test:


(lambda ((re default) (im default))
  #:name "math.sqrt on complex, real part"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
  #:target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (sqr im) (- (sqrt (+ (sqr re) (sqr im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))))