\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
Test:
math.sqrt on complex, real part
Bits:
128 bits
Bits error versus re
Bits error versus im
Time: 9.5 s
Input Error: 17.5
Output Error: 11.1
Log: ⚲
Profile: 🕒
\(\begin{cases} 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} & \text{when } re \le 4.099785f-34 \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2 + re\right)} & \text{when } re \le 8.580638f+12 \\ 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{re + re}\right) & \text{otherwise} \end{cases}\)

    if re < 4.099785f-34

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      20.2
    2. Using strategy rm
      20.2
    3. Applied flip-+ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      20.8
    4. Applied associate-*r/ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{\color{red}{2.0 \cdot \frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      20.8
    5. Applied sqrt-div to get
      \[0.5 \cdot \color{red}{\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      20.9
    6. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
      15.7
    7. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{red}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}\]
      15.7

    if 4.099785f-34 < re < 8.580638f+12

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      8.8
    2. Using strategy rm
      8.8
    3. Applied add-sqr-sqrt to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{red}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}^2} + re\right)}\]
      8.8
    4. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left({\color{red}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}}^2 + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}}^2 + re\right)}\]
      8.8

    if 8.580638f+12 < re

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      24.6
    2. Using strategy rm
      24.6
    3. Applied sqrt-prod to get
      \[0.5 \cdot \color{red}{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]
      24.7
    4. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{red}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right) \leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \color{blue}{\sqrt{re + \sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}}\right)\]
      24.7
    5. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{re + \sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right) \leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{re + re}\right)\]
      0.5
    6. Taylor expanded around inf to get
      \[0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{re + \color{red}{re}}\right) \leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2.0} \cdot \sqrt{re + \color{blue}{re}}\right)\]
      0.5
  1. Removed slow pow expressions

Original test:


(lambda ((re default) (im default))
  #:name "math.sqrt on complex, real part"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
  #:target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (sqr im) (- (sqrt (+ (sqr re) (sqr im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))))