\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
Test:
math.sqrt on complex, real part
Bits:
128 bits
Bits error versus re
Bits error versus im
Time: 19.5 s
Input Error: 39.0
Output Error: 19.5
Log: ⚲
Profile: 🕒
\(\begin{cases} \frac{0.5 \cdot \sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}} & \text{when } re \le -6.203254496817905 \cdot 10^{+35} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} & \text{when } re \le -1.5608708420993077 \cdot 10^{-235} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)} & \text{when } re \le -2.3665634646026902 \cdot 10^{-293} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} & \text{when } re \le 1.245134237263001 \cdot 10^{-160} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} & \text{when } re \le 1.9998665483824554 \cdot 10^{-138} \\ 0.5 \cdot e^{\log \left(\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\right)} & \text{when } re \le 2.56976209479494 \cdot 10^{+109} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} & \text{otherwise} \end{cases}\)

    if re < -6.203254496817905e+35

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      59.5
    2. Using strategy rm
      59.5
    3. Applied flip-+ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      59.5
    4. Applied associate-*r/ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{\color{red}{2.0 \cdot \frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      59.5
    5. Applied sqrt-div to get
      \[0.5 \cdot \color{red}{\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      59.5
    6. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
      41.2
    7. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{red}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}\]
      41.2
    8. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{-1 \cdot re - re}}\]
      21.1
    9. Taylor expanded around -inf to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{red}{-1 \cdot re} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\]
      21.1
    10. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{-1 \cdot re - re}} \leadsto \frac{0.5 \cdot \sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\]
      21.1
    11. Applied final simplification

    if -6.203254496817905e+35 < re < -1.5608708420993077e-235 or -2.3665634646026902e-293 < re < 1.245134237263001e-160

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      34.4
    2. Using strategy rm
      34.4
    3. Applied flip-+ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      34.9
    4. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{\color{red}{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
      30.6
    5. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{red}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}\]
      30.6

    if -1.5608708420993077e-235 < re < -2.3665634646026902e-293

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      29.0
    2. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\]
      0
    3. Taylor expanded around 0 to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{red}{im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
      0

    if 1.245134237263001e-160 < re < 1.9998665483824554e-138 or 2.56976209479494e+109 < re

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      51.2
    2. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\]
      0.3
    3. Taylor expanded around inf to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{red}{re} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
      0.3

    if 1.9998665483824554e-138 < re < 2.56976209479494e+109

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      15.6
    2. Using strategy rm
      15.6
    3. Applied add-exp-log to get
      \[0.5 \cdot \color{red}{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\right)}}\]
      18.2
  1. Removed slow pow expressions

Original test:


(lambda ((re default) (im default))
  #:name "math.sqrt on complex, real part"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
  #:target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (sqr im) (- (sqrt (+ (sqr re) (sqr im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))))