\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
Test:
math.sqrt on complex, real part
Bits:
128 bits
Bits error versus re
Bits error versus im
Time: 13.5 s
Input Error: 39.2
Output Error: 19.4
Log: ⚲
Profile: 🕒
\(\begin{cases} \frac{0.5 \cdot \sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}} & \text{when } re \le -1.0070763208517064 \cdot 10^{+21} \\ \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left(0.5 \cdot im\right)}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} & \text{when } re \le -3.953336011394025 \cdot 10^{-70} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{{\left(\sqrt[3]{{re}^2 + im \cdot im}\right)}^3} + re\right)} & \text{when } re \le 3.751610550051807 \cdot 10^{+91} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} & \text{otherwise} \end{cases}\)

    if re < -1.0070763208517064e+21

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      59.4
    2. Using strategy rm
      59.4
    3. Applied flip-+ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      59.4
    4. Applied associate-*r/ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{\color{red}{2.0 \cdot \frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      59.4
    5. Applied sqrt-div to get
      \[0.5 \cdot \color{red}{\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      59.4
    6. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
      41.7
    7. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{red}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}\]
      41.7
    8. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{-1 \cdot re - re}}\]
      21.9
    9. Taylor expanded around -inf to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{red}{-1 \cdot re} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\]
      21.9
    10. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{-1 \cdot re - re}} \leadsto \frac{0.5 \cdot \sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\]
      21.9
    11. Applied final simplification

    if -1.0070763208517064e+21 < re < -3.953336011394025e-70

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      51.4
    2. Using strategy rm
      51.4
    3. Applied flip-+ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      51.4
    4. Applied associate-*r/ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{\color{red}{2.0 \cdot \frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      51.4
    5. Applied sqrt-div to get
      \[0.5 \cdot \color{red}{\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      51.5
    6. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
      45.1
    7. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{red}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}\]
      45.1
    8. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot im}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}\]
      16.7
    9. Taylor expanded around 0 to get
      \[0.5 \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2.0} \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}\]
      16.7
    10. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot im}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} \leadsto \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left(0.5 \cdot im\right)}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\]
      16.7
    11. Applied final simplification

    if -3.953336011394025e-70 < re < 3.751610550051807e+91

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      24.5
    2. Using strategy rm
      24.5
    3. Applied add-cube-cbrt to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{red}{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^3}} + re\right)}\]
      24.8
    4. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{{\color{red}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right)}}^3} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{re}^2 + im \cdot im}\right)}}^3} + re\right)}\]
      24.8

    if 3.751610550051807e+91 < re

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      49.6
    2. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\]
      0.2
    3. Taylor expanded around inf to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{red}{re} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
      0.2
  1. Removed slow pow expressions

Original test:


(lambda ((re default) (im default))
  #:name "math.sqrt on complex, real part"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
  #:target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (sqr im) (- (sqrt (+ (sqr re) (sqr im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))))