\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
Test:
math.sqrt on complex, real part
Bits:
128 bits
Bits error versus re
Bits error versus im
Time: 12.0 s
Input Error: 34.9
Output Error: 18.8
Log: ⚲
Profile: 🕒
\(\begin{cases} 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} & \text{when } im \le -1.917391145410354 \cdot 10^{-113} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} & \text{when } im \le 8.963489289291359 \cdot 10^{-91} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} & \text{when } im \le 2.0836632160407144 \cdot 10^{+106} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)} & \text{otherwise} \end{cases}\)

    if im < -1.917391145410354e-113 or 8.963489289291359e-91 < im < 2.0836632160407144e+106

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      31.5
    2. Using strategy rm
      31.5
    3. Applied flip-+ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      36.4
    4. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{\color{red}{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
      31.4
    5. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{red}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}\]
      31.4

    if -1.917391145410354e-113 < im < 8.963489289291359e-91

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      30.2
    2. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\]
      0.2
    3. Taylor expanded around inf to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{red}{re} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
      0.2

    if 2.0836632160407144e+106 < im

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      50.7
    2. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\]
      0.0
    3. Taylor expanded around 0 to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{red}{im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
      0.0
  1. Removed slow pow expressions

Original test:


(lambda ((re default) (im default))
  #:name "math.sqrt on complex, real part"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
  #:target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (sqr im) (- (sqrt (+ (sqr re) (sqr im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))))