\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
Test:
math.sqrt on complex, real part
Bits:
128 bits
Bits error versus re
Bits error versus im
Time: 11.9 s
Input Error: 41.3
Output Error: 16.0
Log: ⚲
Profile: 🕒
\(\begin{cases} 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}} & \text{when } re \le -5.001969231040948 \cdot 10^{+151} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} & \text{when } re \le 4.633757336962986 \cdot 10^{-280} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)} & \text{when } re \le 9.113198184177213 \cdot 10^{-181} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} & \text{when } re \le 2.8291641631335695 \cdot 10^{-146} \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)} & \text{otherwise} \end{cases}\)

    if re < -5.001969231040948e+151

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      62.2
    2. Using strategy rm
      62.2
    3. Applied add-cube-cbrt to get
      \[0.5 \cdot \color{red}{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}\right)}^3}\]
      62.2
    4. Using strategy rm
      62.2
    5. Applied flip-+ to get
      \[0.5 \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}}\right)}^3 \leadsto 0.5 \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)}^3\]
      62.2
    6. Applied associate-*r/ to get
      \[0.5 \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\color{red}{2.0 \cdot \frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)}^3 \leadsto 0.5 \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)}^3\]
      62.2
    7. Applied sqrt-div to get
      \[0.5 \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{red}{\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)}^3 \leadsto 0.5 \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)}^3\]
      62.2
    8. Applied cbrt-div to get
      \[0.5 \cdot {\color{red}{\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)}}^3 \leadsto 0.5 \cdot {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)}}^3\]
      62.2
    9. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot {\left(\frac{\color{red}{\sqrt[3]{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}}}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)}^3 \leadsto 0.5 \cdot {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}}}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)}^3\]
      49.9
    10. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot {\left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}}{\color{red}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)}^3 \leadsto 0.5 \cdot {\left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}}{\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}}\right)}^3\]
      49.9
    11. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot {\left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}}{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}\right)}^3 \leadsto 0.5 \cdot {\left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}}{\sqrt[3]{\sqrt{-1 \cdot re - re}}}\right)}^3\]
      22.4
    12. Taylor expanded around -inf to get
      \[0.5 \cdot {\left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}}{\sqrt[3]{\sqrt{\color{red}{-1 \cdot re} - re}}}\right)}^3 \leadsto 0.5 \cdot {\left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}}{\sqrt[3]{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}}\right)}^3\]
      22.4
    13. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot {\left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2.0}}}{\sqrt[3]{\sqrt{-1 \cdot re - re}}}\right)}^3 \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\]
      21.8
    14. Applied final simplification

    if -5.001969231040948e+151 < re < 4.633757336962986e-280 or 9.113198184177213e-181 < re < 2.8291641631335695e-146

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      37.3
    2. Using strategy rm
      37.3
    3. Applied flip-+ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      37.7
    4. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{\color{red}{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
      29.7
    5. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{red}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}\]
      29.7

    if 4.633757336962986e-280 < re < 9.113198184177213e-181

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      21.6
    2. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\]
      0.0
    3. Taylor expanded around 0 to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{red}{im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
      0.0

    if 2.8291641631335695e-146 < re

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      41.4
    2. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\]
      0.1
    3. Taylor expanded around inf to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{red}{re} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
      0.1
  1. Removed slow pow expressions

Original test:


(lambda ((re default) (im default))
  #:name "math.sqrt on complex, real part"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
  #:target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (sqr im) (- (sqrt (+ (sqr re) (sqr im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))))