\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
Test:
math.sqrt on complex, real part
Bits:
128 bits
Bits error versus re
Bits error versus im
Time: 11.0 s
Input Error: 16.2
Output Error: 5.8
Log: ⚲
Profile: 🕒
\(\begin{cases} \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left(0.5 \cdot im\right)}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} & \text{when } \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 5.2218874f-21 \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} & \text{when } \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 6.057904f+19 \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)} & \text{otherwise} \end{cases}\)

    if (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 5.2218874f-21

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      27.4
    2. Using strategy rm
      27.4
    3. Applied add-sqr-sqrt to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{red}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}^2} + re\right)}\]
      29.1
    4. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left({\color{red}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}}^2 + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left({\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}}^2 + re\right)}\]
      29.1
    5. Using strategy rm
      29.1
    6. Applied flip-+ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left({\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2 + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{{\left({\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2\right)}^2 - {re}^2}{{\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2 - re}}}\]
      29.4
    7. Applied associate-*r/ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{\color{red}{2.0 \cdot \frac{{\left({\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2\right)}^2 - {re}^2}{{\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2 - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left({\left({\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2\right)}^2 - {re}^2\right)}{{\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2 - re}}}\]
      29.4
    8. Applied sqrt-div to get
      \[0.5 \cdot \color{red}{\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left({\left({\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2\right)}^2 - {re}^2\right)}{{\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2 - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left({\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2\right)}^2 - {re}^2\right)}}{\sqrt{{\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2 - re}}}\]
      29.6
    9. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left({\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2\right)}^2 - {re}^2\right)}}}{\sqrt{{\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2 - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{{\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2 - re}}\]
      21.6
    10. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{red}{\sqrt{{\left(\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^2 - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}\]
      21.6
    11. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot im}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}\]
      10.1
    12. Taylor expanded around 0 to get
      \[0.5 \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2.0} \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}\]
      10.1
    13. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot im}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} \leadsto \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left(0.5 \cdot im\right)}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\]
      10.1
    14. Applied final simplification

    if 5.2218874f-21 < (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 6.057904f+19

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      0.3

    if 6.057904f+19 < (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      29.7
    2. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(im + re\right)}\]
      10.2
    3. Taylor expanded around 0 to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(im + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\left(im + re\right)}}\]
      10.2
  1. Removed slow pow expressions

Original test:


(lambda ((re default) (im default))
  #:name "math.sqrt on complex, real part"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
  #:target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (sqr im) (- (sqrt (+ (sqr re) (sqr im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))))