\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
Test:
math.sqrt on complex, real part
Bits:
128 bits
Bits error versus re
Bits error versus im
Time: 13.6 s
Input Error: 14.2
Output Error: 3.9
Log: ⚲
Profile: 🕒
\(\begin{cases} \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left(0.5 \cdot im\right)}{\sqrt{re \cdot -2}} & \text{when } \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 6.9158117f-23 \\ 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot {\left(\sqrt[3]{re + \sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}^3} & \text{when } \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re \le 8.603455f+19 \\ \frac{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{im - re}} & \text{otherwise} \end{cases}\)

    if (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 6.9158117f-23

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      27.8
    2. Using strategy rm
      27.8
    3. Applied flip-+ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      29.6
    4. Applied associate-*r/ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{\color{red}{2.0 \cdot \frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      29.6
    5. Applied sqrt-div to get
      \[0.5 \cdot \color{red}{\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      29.6
    6. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
      19.1
    7. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{red}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}\]
      19.1
    8. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}}\]
      19.1
    9. Taylor expanded around -inf to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{red}{-2 \cdot re}}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]
      19.1
    10. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot im}{\sqrt{-2 \cdot re}}\]
      2.8
    11. Taylor expanded around 0 to get
      \[0.5 \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2.0} \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot im}}{\sqrt{-2 \cdot re}}\]
      2.8
    12. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot im}{\sqrt{-2 \cdot re}} \leadsto \frac{\sqrt{2.0} \cdot \left(0.5 \cdot im\right)}{\sqrt{re \cdot -2}}\]
      2.8
    13. Applied final simplification

    if 6.9158117f-23 < (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) < 8.603455f+19

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      0.5
    2. Using strategy rm
      0.5
    3. Applied add-cube-cbrt to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}^3}}\]
      0.9
    4. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot {\color{red}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}}^3} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re + \sqrt{{re}^2 + im \cdot im}}\right)}}^3}\]
      0.9

    if 8.603455f+19 < (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)

    1. Started with
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
      30.0
    2. Using strategy rm
      30.0
    3. Applied flip-+ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{red}{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      30.0
    4. Applied associate-*r/ to get
      \[0.5 \cdot \sqrt{\color{red}{2.0 \cdot \frac{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      30.0
    5. Applied sqrt-div to get
      \[0.5 \cdot \color{red}{\sqrt{\frac{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]
      30.0
    6. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2.0 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^2 - {re}^2\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
      26.5
    7. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{red}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}}}\]
      26.5
    8. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{{re}^2 + im \cdot im} - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{im - re}}\]
      25.0
    9. Taylor expanded around 0 to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{red}{im - re}}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{\color{blue}{im - re}}}\]
      25.0
    10. Applied taylor to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(2.0 \cdot im\right) \cdot im}}{\sqrt{im - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot im}{\sqrt{im - re}}\]
      9.9
    11. Taylor expanded around 0 to get
      \[0.5 \cdot \frac{\color{red}{\sqrt{2.0} \cdot im}}{\sqrt{im - re}} \leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0} \cdot im}}{\sqrt{im - re}}\]
      9.9
    12. Applied simplify to get
      \[0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0} \cdot im}{\sqrt{im - re}} \leadsto \frac{\left(0.5 \cdot im\right) \cdot \sqrt{2.0}}{\sqrt{im - re}}\]
      9.9
    13. Applied final simplification
  1. Removed slow pow expressions

Original test:


(lambda ((re default) (im default))
  #:name "math.sqrt on complex, real part"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
  #:target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (sqr im) (- (sqrt (+ (sqr re) (sqr im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))))